Calcul infinitésimal Exemples

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + 2 t$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

Étape 2.4

Comme $2 t$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

Étape 2.5

Additionnez $3 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

Étape 3.2

Comme $3 y^{2} t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2} t$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$3 y^{2} = 0$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 y^{2} = 0$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $3 y^{2} t$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $3 y^{2} + 0$ et $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (y^{2}) + 3 (0)$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

Étape 5.3.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Étape 5.3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Étape 5.3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

Étape 5.3.3

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{t}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

Étape 6.2.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{\frac{x}{t}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y^{3} + 2 t$ par $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $3 y^{2} t$ par $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $3 t e^{\frac{x}{t}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 t e^{\frac{x}{t}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Étape 9.3.2.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Étape 9.3.2.3

Associez $\frac{3 t}{3}$ et $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Étape 9.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Étape 9.3.2.4.2

Divisez $t e^{\frac{x}{t}}$ par $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $t y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ par rapport à $x$ est $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{t}$ .

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Étape 12.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.3

Comme $\frac{1}{t}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{t}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.5

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.6

Associez $e^{\frac{x}{t}}$ et $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.7

Associez $t$ et $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.8

Associez $y^{3}$ et $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.9

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 12.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.3.9.2

Divisez $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ par $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 12.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

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Étape 13.1.2.1

Soustrayez $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ de $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

Étape 13.1.2.2

Additionnez $2 t e^{\frac{x}{t}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $2 t e^{\frac{x}{t}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Étape 14.3

Comme $2 t$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 t$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

Étape 14.4

Laissez $u = \frac{x}{t}$ . Alors $d u = \frac{1}{t} d x$ , donc $t d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 14.4.1

Laissez $u = \frac{x}{t}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 14.4.1.1

Différenciez $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

Étape 14.4.1.2

Comme $\frac{1}{t}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{t}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

Étape 14.4.1.4

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $1$ .

$\frac{1}{t}$

Étape 14.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

Étape 14.5

Simplifiez

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Étape 14.5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{t}$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

Étape 14.5.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

Étape 14.6

Comme $t$ est constant par rapport à $u$ , placez $t$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

Étape 14.7

Simplifiez

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Étape 14.7.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

Étape 14.7.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

Étape 14.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

Étape 14.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

Étape 14.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

Étape 14.9

Simplifiez

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

Étape 14.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Étape 16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ .

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$