Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{t}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d t = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + \ln (y)) d t$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{t}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d t$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{t (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{t (1 + \ln (y))} \cdot \frac{t}{y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{t (1 + \ln (y))} \cdot \frac{t}{y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d t$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $1 + \ln (y)$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{t (1 + \ln (y))}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{t (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d t$

Étape 3.5.2

Factorisez $1 + \ln (y)$ à partir de $t (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) t} (1 + \ln (y)) d t$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) t} (1 + \ln (y)) d t$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{t} d t$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{t} d t$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = \ln (y)$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , donc $y d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = \ln (y)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Étape 4.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2.2

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Étape 4.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 4.2.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 4.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2.4

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 4.2.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2.4.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| t |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| t |) = C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | t |) = C$

Étape 5.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (1 + \ln (y)) t |) = C$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 t + \ln (y) t |) = C$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Multipliez $t$ par $1$ .

$\ln (| t + \ln (y) t |) = C$

Étape 5.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| t + \ln (y) t |)$ .

$\ln (| t + t \ln (y) |) = C$

Étape 5.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| t + t \ln (y) |)} = e^{C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (| t + t \ln (y) |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | t + t \ln (y) |$

Étape 5.8

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $| t + t \ln (y) | = e^{C}$ .

$| t + t \ln (y) | = e^{C}$

Étape 5.8.2

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$t + t \ln (y) = \pm e^{C}$

Étape 5.8.2.2

Soustrayez $t$ des deux côtés de l’équation.

$t \ln (y) = \pm e^{C} - t$

Étape 5.8.2.3

Divisez chaque terme dans $t \ln (y) = \pm e^{C} - t$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 5.8.2.3.1

Divisez chaque terme dans $t \ln (y) = \pm e^{C} - t$ par $t$ .

$\frac{t \ln (y)}{t} = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Étape 5.8.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.8.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \ln (y)}{t} = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Étape 5.8.2.3.2.1.2

Divisez $\ln (y)$ par $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Étape 5.8.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.2.3.3.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.8.2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Étape 5.8.2.3.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} - 1$

Étape 5.8.2.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1}$

Étape 5.8.2.5

Réécrivez $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1} = y$

Étape 5.8.2.6

Réécrivez l’équation comme $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = e^{\frac{C}{t} - 1}$