Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 2.5

Factorisez $e^{r x}$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 2.5.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $4 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 2.5.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 2.5.4

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $- 2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 2.5.5

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r - 2) = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 2.6

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 r - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} = - 3 x + 6$

Étape 3.1.1.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x = 6$

Étape 3.1.1.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x - 6 = 0$

Étape 3.1.2

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$r^{2} + 4 r - 2 x^{2} + 3 x - 8 = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 2 x^{2} + 3 x - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Additionnez $16$ et $32$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2} - 12 x + 48$ .

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Étape 3.4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4

Simplifiez

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Étape 3.5.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.5

Additionnez $16$ et $32$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2} - 12 x + 48$ .

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Étape 3.5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Étape 3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Simplifiez

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Étape 3.6.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Additionnez $16$ et $32$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2} - 12 x + 48$ .

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Étape 3.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x}$