Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} y d x + ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x^{5} y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x) d y = - x^{5} y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\csc (x) y}$ .

$\frac{1}{\csc (x) y} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $\csc (x)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) y$ .

$\frac{1}{\csc (x) (y)} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x) (y)} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\csc (x) y} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} (y^{4} + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $y^{4} + 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{4} + 3 y^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{4}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3$ .

$\frac{y^{2} (y^{2} + 3)}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y^{1}} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (y^{2} + 3)}{1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.4.2.5

Divisez $y (y^{2} + 3)$ par $1$ .

$y (y^{2} + 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$(y \cdot y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.6

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 3.6.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(y^{1 + 2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(y^{3} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.7

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Étape 3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\csc (x) y}$ dans le numérateur.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

Étape 3.9.2

Factorisez $y$ à partir de $\csc (x) y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (x^{5} y) d x$

Étape 3.9.3

Factorisez $y$ à partir de $x^{5} y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

Étape 3.9.4

Annulez le facteur commun.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

Étape 3.9.5

Réécrivez l’expression.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x)} x^{5} d x$

Étape 3.10

Associez $\frac{- 1}{\csc (x)}$ et $x^{5}$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- x^{5}}{\csc (x)} d x$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{x^{5}}{\csc (x)} d x$

Étape 3.12

Séparez les fractions.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}) d x$

Étape 3.13

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}) d x$

Étape 3.14

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} (1 \sin (x))) d x$

Étape 3.15

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \sin (x)) d x$

Étape 3.16

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{3} + 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{3} d y + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 \int y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.2.5.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - \int x^{5} \sin (x) d x$

Étape 4.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{5}$ et $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (5 x^{4}) d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - 5 \cos (x) x^{4} d x)$

Étape 4.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - (- 5 \int \cos (x) x^{4} d x))$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 \int \cos (x) x^{4} d x)$

Étape 4.3.6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{4}$ et $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - \int \sin (x) (4 x^{3}) d x))$

Étape 4.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - (4 \int \sin (x) (x^{3}) d x)))$

Étape 4.3.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 \int \sin (x) (x^{3}) d x))$

Étape 4.3.9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x)))$

Étape 4.3.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x)))$

Étape 4.3.11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x))))$

Étape 4.3.12

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x)))$

Étape 4.3.13

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x))))$

Étape 4.3.14

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x)))))$

Étape 4.3.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x))))$

Étape 4.3.16

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)))))$

Étape 4.3.17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)))))$

Étape 4.3.18

Simplifiez

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Étape 4.3.18.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)))))$

Étape 4.3.18.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)))))$

Étape 4.3.19

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$

Étape 4.3.20

Réécrivez $- (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$ comme $- (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + K$