Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 1.4.5

Divisez $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{2}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{2}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{2}$ par rapport à $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $2 v v'$ et $y$ par $v^{2}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $2 v$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Divisez chaque terme dans $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.2.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3

Annulez le facteur commun à $v^{2}$ et $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.3.1

Factorisez $v$ à partir de $\frac{- 2}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.3.2.1

Factorisez $v$ à partir de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.4

Associez $\frac{- 2}{x}$ et $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 v}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

Étape 7.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

Étape 7.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Simplifiez

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Étape 7.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Étape 7.1.1.3.4.2

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

Étape 7.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2

Intégrez $- \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 7.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 7.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.4.1

Multipliez $\frac{v}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Étape 7.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 7.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Étape 7.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Étape 7.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

Étape 7.7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 7.7.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

Étape 7.7.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

Étape 7.8

Résolvez $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

Étape 7.8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Étape 7.8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Étape 7.8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = (x^{2} + C) x$

Étape 7.8.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.2.1

Simplifiez $(x^{2} + C) x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = x^{2} x + C x$

Étape 7.8.3.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.2.1.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.3.2.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

Étape 7.8.3.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = x^{2 + 1} + C x$

Étape 7.8.3.2.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$v = x^{3} + C x$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$