Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{e^{x}} + 2 = x - 3 \frac{d y}{d x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$ .

$x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$

Étape 1.1.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Associez.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.1.3.3.1.7

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (- \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{x}} d x) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int - e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.9

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3.10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} \int x d x$

Étape 2.3.11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.12

Simplifiez

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Étape 2.3.12.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.12.2

Simplifiez

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Étape 2.3.12.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.12.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + K$