Calcul infinitésimal Exemples

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Étape 1.3.1.2

Divisez $2 e^{- \frac{y}{x}}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + 2 e^{- V} - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $2 e^{- V}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{- V}$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- V}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.1.2

Multipliez $- V \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $V$ par $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $e^{V}$ par $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $e^{V}$ par rapport à $V$ est $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 6.3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Développez $\ln (e^{V})$ en déplaçant $V$ hors du logarithme.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 6.3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 6.3.2.3

Multipliez $V$ par $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 6.3.3

Développez $\ln (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

Étape 6.3.4

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$