Calcul infinitésimal Exemples

$2 x (y d) x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Étape 1.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

Étape 2.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$2 x = - 2 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x = - 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $2 x y$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{2 y}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Associez $2$ et $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.4

Associez $x$ et $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $y^{2} - x^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $y^{2} - x^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{2}{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{y}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $2$ par $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.5

Associez $\frac{1}{y}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{y}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.5.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Développez $(- y - x) (y - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.1.1.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.3.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.2

Soustrayez $x y$ de $y x$ .

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Étape 12.1.1.3.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.3.3

Additionnez $- y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Étape 13

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Étape 13.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$