Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - x^{7} e^{y} = 8 e^{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $x^{7} e^{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{y} + x^{7} e^{y}$

Étape 1.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $8 e^{y} + x^{7} e^{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $8 e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 8 + x^{7} e^{y}$

Étape 1.2.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $x^{7} e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 8 + e^{y} x^{7}$

Étape 1.2.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} \cdot 8 + e^{y} x^{7}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} (8 + x^{7})$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (8 + x^{7}))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (8 + x^{7}))$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 8 + x^{7}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (8 + x^{7}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u} d u = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- e^{u} + C_{1} = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 8 + x^{7} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 8 d x + \int x^{7} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int x^{7} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + C_{2} + \frac{1}{8} x^{8} + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + \frac{1}{8} x^{8} + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $e^{- y}$ par $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{8} x^{8}) + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\frac{1}{8} x^{8})$ comme $- (\frac{1}{8} x^{8})$ .

$e^{- y} = - (\frac{1}{8} x^{8}) + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $x^{8}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{8 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 1 \cdot (8 x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot (8 x)$ comme $- (8 x)$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - (8 x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.6

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.8

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{- y})$ en déplaçant $- y$ hors du logarithme.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ comme $- \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x + K)$