Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 5 y = e^{5 x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 5$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 5 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{5 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{5 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{5 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} e^{5 x}$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} e^{5 x}$

Étape 2.3

Multipliez $e^{5 x}$ par $e^{5 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x + 5 x}$

Étape 2.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{10 x}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{10 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = e^{10 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = e^{10 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int e^{10 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{5 x} y = \int e^{10 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u = 10 x$ . Alors $d u = 10 d x$ , donc $\frac{1}{10} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u = 10 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $10 x$ .

$\frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 6.1.1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \cdot 1$

Étape 6.1.1.4

Multipliez $10$ par $1$ .

$10$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{5 x} y = \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{10}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Étape 6.3

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 x} y = \frac{1}{10} \int e^{u} d u$

Étape 6.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{10} (e^{u} + C)$

Étape 6.5

Simplifiez

$e^{5 x} y = \frac{1}{10} e^{u} + C$

Étape 6.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{10} e^{10 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{5 x} y = \frac{1}{10} e^{10 x} + C$ par $e^{5 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{5 x} y = \frac{1}{10} e^{10 x} + C$ par $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{\frac{1}{10} e^{10 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{5 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{\frac{1}{10} e^{10 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{10} e^{10 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{10 x}$ et $e^{5 x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $\frac{1}{10} e^{10 x}$ .

$y = \frac{e^{5 x} (\frac{1}{10} e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{5 x} (\frac{1}{10} e^{5 x})}{e^{5 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{5 x} (\frac{1}{10} e^{5 x})}{e^{5 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{10} e^{5 x}}{1} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{10} e^{5 x}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{10} e^{5 x} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.3.1.2

Associez $\frac{1}{10}$ et $e^{5 x}$ .

$y = \frac{e^{5 x}}{10} + \frac{C}{e^{5 x}}$