Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x^{2} - 1} y = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{4}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{4}{x^{2} - 1} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{4}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Étape 1.2.2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.2.2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.2.2.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2.2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.2.2.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Étape 1.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.7.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.2.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.7.1.2

Divisez $(A) (x - 1)$ par $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.7.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.7.4

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.7.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.2.2.1.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.7.5.2

Divisez $(B) (x + 1)$ par $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Étape 1.2.2.1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Étape 1.2.2.1.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Étape 1.2.2.1.8

Déplacez $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Étape 1.2.2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 1.2.2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.2.2.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.2.2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.2.2.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.2.2.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.2.2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B$ dans chaque équation.

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Étape 1.2.2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = - 1 A + B$ par $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (- B) + B$ .

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Étape 1.2.2.3.2.2.1.1

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 1.2.2.3.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.2.2.1.1.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = 2 B$ .

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Étape 1.2.2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.3.2

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.3.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 1.2.2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 1.2.2.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.2.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.2.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.2.2.5.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.2.2.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.2.2.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.2.2.5.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{4 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Étape 1.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{4 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 1.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 1.2.6

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.2.6.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.2.6.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.2.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.2.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 1.2.7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 1.2.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Étape 1.2.9

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.2.9.1

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.2.9.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.9.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.2.9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Étape 1.2.10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Étape 1.2.11

Simplifiez

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Étape 1.2.12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 1.2.12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Étape 1.2.12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Étape 1.2.13

Simplifiez

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Étape 1.2.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.13.1.1

Associez $\ln (| x + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Étape 1.2.13.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Étape 1.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{4 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Étape 1.2.13.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{2 (2) \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Étape 1.2.13.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 \cdot 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Étape 1.2.13.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)) + C}$

Étape 1.2.13.4

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

Étape 1.2.13.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (x + 1) + 2 \ln (x - 1)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2}) + \ln ({(x - 1)}^{2})}$

Étape 1.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2})}$

Étape 1.6

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2}$

Étape 1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$

Étape 1.8

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ((x - 1) (x - 1))$

Étape 1.9

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.10.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.10.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.10.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.10.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 1.10.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.11

Multipliez $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ par $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.12

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.12.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.12.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ et $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.4

Associez.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{2} ((x + 1) (x - 1))} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.5

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.5.1

Déplacez $x + 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $x + 1$ par ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1 + 2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à ${(x - 1)}^{2}$ et $x - 1$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2} (4 y)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x + 1)}^{3} (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.7

Déplacez $4$ à gauche de $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + 1)}^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x + 1)} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.4.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2 + 1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $4 (x - 1) y$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.1.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.3

Réécrivez $- 1 \frac{d y}{d x}$ comme $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.4

Développez $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(x - 1) (x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.5.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.5.2

Soustrayez $\frac{d y}{d x} x$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.6.5.2.1

Déplacez $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.5.2.2

Soustrayez $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.6.5.3

Additionnez $x^{2} \frac{d y}{d x}$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ par $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Simplifiez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y$ .

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ et $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}} = C$

Étape 7.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = C$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés par ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Étape 7.4

Divisez chaque terme dans $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ par ${(x - 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.4.1

Divisez chaque terme dans $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ par ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 7.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$