Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 2.3.1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + e^{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$