Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

Étape 1.2

Comme $\frac{1}{x^{2}}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2} y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Étape 1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Étape 1.6

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $y$ est $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.7.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Étape 2.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$- 1 = - 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 1 = - 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = y - x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Étape 5.4

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.2.2

Comme $\frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Soustrayez $y$ de $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Étape 9.1.1.3

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Étape 9.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.2.2.1

Divisez la fraction $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Étape 9.1.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 9.1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Étape 9.1.2.2.2.1.2

Divisez $- 1 y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Étape 9.1.2.2.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Étape 9.1.2.3

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 9.1.2.3.2

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x^{2}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 10.3

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 10.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 10.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Étape 10.6

Réécrivez $- x^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$