Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} + 2 y) d x + 2 x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} + 2 y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 2 y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.2.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2$ .

$2 = 2$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 = 2$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 2 x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y - 2 y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 2 y - 2 y$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $3 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Étape 10.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + x^{3} + C$