Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 1)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (3 (y + 1))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y + 1} (y + 1)$

Étape 1.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = 3 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int 3 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 3 d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 3 x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{3 x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + C} = | y + 1 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y + 1 | = e^{3 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{3 x + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{3 x + C}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{3 x + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{3 x + C}$ comme $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{3 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{3 x} - 1$