Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{3} \sqrt{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (3 x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{\sqrt{y}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.3.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.4

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{3} \sqrt{y})$

Étape 1.2.5

Multipliez $\frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{3} \sqrt{y})$ .

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Étape 1.2.5.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{3 \sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} (3 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

Étape 1.2.5.2

Associez $\frac{x^{3} (3 \sqrt{y})}{y}$ et $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} (3 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

Étape 1.2.5.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} (3 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

Étape 1.2.5.4

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} (3 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

Étape 1.2.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} (3 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

Étape 1.2.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} (3 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

Étape 1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \cdot 3 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Étape 1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \cdot 3 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Étape 1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Étape 1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Étape 1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \cdot 3 y^{1}}{y}$

Étape 1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \cdot 3 y}{y}$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \cdot 3 y}{y}$

Étape 1.2.7.2

Divisez $x^{3} \cdot 3$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x^{3} \cdot 3$

Étape 1.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 3 x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 3 x^{3} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 3 x^{3} d x$

Étape 2.2.1.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 3 x^{3} d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 3 x^{3} d x$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 3 x^{3} d x$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 3 x^{3} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 x^{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int x^{3} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ comme $3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} x^{4} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} x^{4} + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} x^{4} + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{4}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3 x^{4}}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2}) (\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2}) (\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Développez $(\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2}) (\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{4}}{8} (\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1

Associez.

$y = \frac{3 x^{4} (3 x^{4})}{8 \cdot 8} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y = \frac{3 (x^{4} x^{4}) \cdot 3}{8 \cdot 8} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{3 x^{4 + 4} \cdot 3}{8 \cdot 8} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$y = \frac{3 x^{8} \cdot 3}{8 \cdot 8} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{8 \cdot 8} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4

Multipliez $8$ par $8$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4}}{8} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5

Associez.

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{8 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.6

Multipliez $8$ par $2$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3 x^{4}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.7

Associez.

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{K (3 x^{4})}{2 \cdot 8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.8

Multipliez $2$ par $8$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{K \cdot 3 x^{4}}{16} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{3 \cdot K x^{4}}{16} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.10.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 x^{4} K}{16} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Additionnez $\frac{3 x^{4} K}{16}$ et $\frac{3 K x^{4}}{16}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Additionnez $\frac{3 K x^{4}}{16}$ et $\frac{3 K x^{4}}{16}$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + 2 \frac{3 K x^{4}}{16} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + 2 \frac{3 K x^{4}}{2 (8)} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + 2 \frac{3 K x^{4}}{2 \cdot 8} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{3 K x^{4}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{9 x^{8}}{64} + \frac{K x^{4}}{8} + K$