Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} e^{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} e^{x}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} e^{x}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} e^{x}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} e^{x}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x^{1}}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} e^{x}}{1}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $x^{2} e^{x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} e^{x}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} e^{x}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} e^{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{2 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (e^{x}))$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = e^{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = e^{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int e^{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = e^{x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = e^{x} + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (e^{x} + C) x^{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (e^{x} + C) x^{2}$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (e^{x} + C) x^{2}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(e^{x} + C) x^{2}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = e^{x} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} e^{x} + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $x^{2} e^{x}$ et $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} e^{x}$