Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{x + y}{x}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{x} + \frac{y}{x})$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x} - \frac{y}{x}$

Étape 1.1.3

Ajoutez $\frac{y}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = - \frac{x}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = - \frac{x}{x}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = - \frac{x}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (- \frac{x}{x})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (- \frac{x}{x})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $- x$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = - x$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = - x$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int - x d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int - x d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x y = - \int x d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 7.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.1.2.5

Divisez $- \frac{1}{2} x$ par $1$ .

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$