Calcul infinitésimal Exemples

$(6 x^{2} - 7 y^{2}) d x - 14 x (y d) y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 6 x^{2} - 7 y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x^{2} - 7 y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 7 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [6 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $6 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 7 y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 7 y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 7 (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 14 y$

Étape 1.4

Soustrayez $14 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 14 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - 14 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 14 x y]$

Étape 2.2

Comme $- 14 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 x y$ par rapport à $x$ est $- 14 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 14 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 14 y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 14 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 14 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 14 y$ .

$- 14 y = - 14 y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 14 y = - 14 y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 14 x y d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - 14 x y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 14 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 14 x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - 14 x \int y d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $- 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Associez $- 14$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 14}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{- 14}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 14}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.3

Déplacez $- 14$ à gauche de $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 14 x}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- 7 x)}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- 7 x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 (- 7 x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{- 7 x}{1} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.4.2.4

Divisez $- 7 x$ par $1$ .

$f (x, y) = - 7 x y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - 7 x y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2} + g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x y^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- 7 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 7 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- 7 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - 7 y^{2} = 6 x^{2} - 7 y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $7 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 7 y^{2} + 7 y^{2}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $6 x^{2} - 7 y^{2} + 7 y^{2}$ .

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- 7 y^{2}$ et $7 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $6 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Étape 10.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - 7 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - 7 x y^{2} + 2 x^{3} + C$