Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (x)}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez $\frac{\sin (x)}{1 + y} \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Associez $\frac{\sin (x)}{1 + y}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y} = \cos (x)$

Étape 1.1.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} = \cos (x)$

Étape 1.1.2

Multipliez les deux côtés par $1 + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Étape 1.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) (1 + y)$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez $\cos (x) (1 + y)$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) y$

Étape 1.1.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + \cos (x) y$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x) + \cos (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + y \cos (x)$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $y \cos (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ par $\sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.3.1.1

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.4.3.1.2

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.4.3.1.3

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.4.3.1.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \cot (x)$

Étape 1.2

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $y \cot (x) + \cot (x)$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x)$

Étape 1.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) (y + 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\cot (x) (y + 1))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y + 1$ à partir de $\cot (x) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \cot (x)$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = \cot (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \cot (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \cot (x) d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| \sin (x) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| \sin (x) |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| \sin (x) |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| \sin (x) |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y + 1 | = e^{C} | \sin (x) |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | \sin (x) |$ .

$| y + 1 | = | \sin (x) | e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | \sin (x) | e^{C}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | \sin (x) | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | \sin (x) |$

Étape 3.5.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{C} | \sin (x) | - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C | \sin (x) | - 1$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | \sin (x) | - 1$