Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{15 y^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Inversez les côtés pour obtenir $\frac{d y}{d x}$ du côté gauche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{15 y^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{15 y^{2}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $15 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{15}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{x}{15} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x}{15} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{15} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{15}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{30} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{30} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{30}$ et $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{30} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{30} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (10)} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 10} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{10} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $3 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K \cdot \frac{10}{10}}$

Étape 3.4.2

Associez $3 K$ et $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + \frac{3 K \cdot 10}{10}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 3 K \cdot 10}{10}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $10$ par $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt[3]{10}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Étape 3.4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Étape 3.4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ comme $10$ .

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Étape 3.4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{10}$ comme $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Étape 3.4.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Étape 3.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{100}}{10}$

Étape 3.4.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$

Étape 3.4.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + 30 K)}}{10}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + K)}}{10}$