Calcul infinitésimal Exemples

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y^{2} - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Additionnez $4 x y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

Étape 1.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.9.1

Multipliez $2 x y^{2} - 3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

Étape 1.9.2

Additionnez $4 x y^{2}$ et $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

Étape 1.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $6 y^{2} x - 3$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 y^{2} x - 3$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 y^{2} x - 3$ .

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

Étape 5.3

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ .

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Étape 8.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = y^{2} x^{2} - 3 x$ .

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} x^{2} - 3 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.5

Comme $- 3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.8

Additionnez $2 x^{2} y$ et $0$ .

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.9

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.10

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.13

Multipliez $y^{2} x^{2} - 3 x$ par $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.14

Additionnez $2 x^{2} y^{2}$ et $y^{2} x^{2}$ .

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Étape 8.3.14.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.3.14.2

Additionnez $2 x^{2} y^{2}$ et $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 9.1.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $- 3 x + 4 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $4 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $4 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Étape 10.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 4 \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Étape 12.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 12.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Étape 12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Étape 12.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Étape 12.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$