Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int x d x}$

Étape 1.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Étape 1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Alors $d u_{1} = x d x$ , donc $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 6.1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Étape 6.1.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Étape 6.1.1.4.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Étape 6.1.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2}$

Étape 6.1.1.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = e^{u_{1}}$ et $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3.4

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.3.5

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.5.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.5.4

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Réécrivez $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ comme $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 6.7.2

Simplifiez

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Étape 6.7.2.1

Soustrayez $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ de $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Étape 6.7.2.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ .

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

Étape 9

Définissez le numérateur égal à zéro.

$C = 0$

Étape 10

Remplacez $C$ par $0$ dans $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $0$ .

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 10.2

Divisez $0$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$y = 0$