Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} - 3 x = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$ par $2 \sqrt{y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$ par $2 \sqrt{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{2 \sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{2 \sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{y}$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $\frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Étape 1.1.2.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 \sqrt{y} \sqrt{y}}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Déplacez $\sqrt{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 (\sqrt{y} \sqrt{y})}$

Étape 1.1.2.3.2.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}$

Étape 1.1.2.3.2.4

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}$

Étape 1.1.2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Étape 1.1.2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.1.2.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.2.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.2.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{1}}$

Étape 1.1.2.3.2.7.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.4.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.2.6.5

Simplifiez

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.3.2

Divisez $\sqrt{y}$ par $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

Étape 1.4.4

Multipliez $\frac{3 x}{2}$ par $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$

Étape 1.4.5

Multipliez $\sqrt{y} \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$ .

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Étape 1.4.5.1

Associez $\sqrt{y}$ et $\frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y} (3 x \sqrt{y})}{2 y}$

Étape 1.4.5.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{2 y}$

Étape 1.4.5.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{2 y}$

Étape 1.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{2 y}$

Étape 1.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {\sqrt{y}}^{2}}{2 y}$

Étape 1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 y}$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 y}$

Étape 1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{2}{2}}}{2 y}$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{2}{2}}}{2 y}$

Étape 1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{1}}{2 y}$

Étape 1.4.6.5

Simplifiez

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y}{2 y}$

Étape 1.4.7

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y}{2 y}$

Étape 1.4.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{\sqrt{y}} d y = \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{y}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Placez $y^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int y \cdot y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.2.1

Multipliez $y$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{1} y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{1 - \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.1.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int y^{\frac{2 - 1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.1.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{4} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{4} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Associez.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.6

Divisez $y^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{3 x^{2}}{4} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3}{2} K$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (3 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{3}{2} K$

Étape 3.2.2.1.1.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $K$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (3 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3^{2} x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3^{2} x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = {(\frac{9 x^{2}}{8} + K)}^{\frac{2}{3}}$