Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{8 e^{y}}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{2 x}{8 e^{y}}$

Étape 1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $8 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{2 x}{e^{y} \cdot 8}$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{2 x}{e^{y} \cdot 8}$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{8}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x)}{8}$

Étape 1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$e^{y} d y = \frac{x}{4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{8} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{2}}{8} + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{8} + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{8} + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{2}}{8} + K)$