Calcul infinitésimal Exemples

$x d x - 4 y d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x d x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y d y = - x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.4.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.4.3

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour écrire $- \frac{K}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

Étape 3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

Étape 3.3.5

Réécrivez $\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x^{2} - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

Étape 3.3.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.3.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

Étape 3.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Étape 3.3.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$