Calcul infinitésimal Exemples

$(3 y^{2} + 2 x y + 2 x) d x + (6 x y + x^{2} + 3) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 x y + 2 x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.5

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + 0$

Étape 1.6

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Étape 1.6.1

Additionnez $6 y + 2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 6 x y + x^{2} + 3$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y + x^{2} + 3]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x y + x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + 0$

Étape 2.5

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Étape 2.5.1

Additionnez $6 y + 2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x + 6 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 6 y$ .

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 x y + 2 x d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d x + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Étape 5.3

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y \int x d x + \int 2 x d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x d x$

Étape 5.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x d x$

Étape 5.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.7

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$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.8

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Étape 5.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 5.8.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Étape 5.8.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Étape 5.8.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y^{2} x$ par rapport à $y$ est $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x y + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x y + x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.5

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Additionnez $6 x y + x^{2}$ et $0$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 8.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $6 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 0 + 3 - 6 x y$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $6 x y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 3 - 6 x y$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $6 x y$ de $6 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Étape 10

Déterminez la primitive de $3$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = 3 y + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + 3 y + C$