Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{\frac{3}{4}}$ .

$v = y^{\frac{1}{4}}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{4}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{4}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{4}$ par rapport à $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{4}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{4}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [v]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$y' = 4 u^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = 4 v^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = 4 v^{3} v'$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $4 v^{3} v'$ et $y$ par $v^{4}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$ .

$4 v^{3} v' + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ par $4 v^{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Divisez chaque terme dans $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ par $4 v^{3}$ .

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.2.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 (v^{3})} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v^{4}}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $v^{4}$ et $v^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.4.1

Factorisez $v^{3}$ à partir de $2 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.2.1.4.2.4

Divisez $2 v$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{4 v^{3}}$

Étape 6.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Étape 6.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Étape 6.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{2 v^{3}}$

Étape 6.1.1.3.3

Multipliez les exposants dans ${(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Étape 6.1.1.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Étape 6.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $v^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Étape 6.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3}}{2}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’équation avec des coefficients isolés.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{1}{2} x^{3}$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Étape 6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3}$

Étape 6.3.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x}}{2} x^{3}$

Étape 6.3.5

Associez $\frac{e^{2 x}}{2}$ et $x^{3}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$

Étape 6.3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} v = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \int x^{3} e^{2 x} d x$

Étape 6.7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6.7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6.7.3.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6.7.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6.7.3.4

Associez $3$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x}}{2} x^{2} d x)$

Étape 6.7.3.5

Associez $\frac{3 e^{2 x}}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{2} d x)$

Étape 6.7.4

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 x} x^{2} d x))$

Étape 6.7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Étape 6.7.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Étape 6.7.6.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Étape 6.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x))$

Étape 6.7.6.4

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x))$

Étape 6.7.6.5

Associez $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ et $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Étape 6.7.6.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.6.6.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Étape 6.7.6.6.2

Divisez $e^{2 x} x$ par $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x))$

Étape 6.7.7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Étape 6.7.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Étape 6.7.8.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Étape 6.7.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)))$

Étape 6.7.9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))))$

Étape 6.7.10

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.10.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.10.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.7.10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7.10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.7.10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.7.10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)))$

Étape 6.7.11

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Étape 6.7.12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Étape 6.7.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)))$

Étape 6.7.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Étape 6.7.14

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$

Étape 6.7.15

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$ comme $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Étape 6.7.16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Étape 6.7.17

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Étape 6.7.17.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.17.2.1

Associez.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Étape 6.7.17.2.2

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.17.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Étape 6.7.17.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Étape 6.7.17.2.3

Associez.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Étape 6.7.17.2.4

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.17.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 e^{2 x}}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{2 \cdot 8} + C$

Étape 6.7.17.2.4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Étape 6.7.17.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.17.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Étape 6.7.17.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Étape 6.7.17.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Étape 6.7.17.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Étape 6.7.18

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{2 x} v = \frac{1}{4} x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Étape 6.8

Résolvez $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{3}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3}}{4} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Étape 6.8.1.2

Associez $\frac{x^{3}}{4}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Étape 6.8.1.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Étape 6.8.1.4

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Étape 6.8.1.5

Associez $\frac{3}{8}$ et $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x}{8} e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Étape 6.8.1.6

Associez $\frac{3 x}{8}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Étape 6.8.1.7

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{3}{16}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$

Étape 6.8.2

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.8.2.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.2

Associez.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.8.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{x^{3} \cdot 1}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.4

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{2 x} x^{2}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 \cdot (e^{2 x} x^{2})}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.7

Multipliez $\frac{1}{e^{2 x}}$ par $\frac{3 e^{2 x} x^{2}}{8}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.8

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.3.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.10

Associez.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.11

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.3.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.12

Multipliez $3$ par $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.13

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.14

Déplacez $3$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 \cdot e^{2 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.15

Multipliez $\frac{1}{e^{2 x}}$ par $\frac{3 e^{2 x}}{16}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.16

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.3.1.16.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 6.8.2.3.1.16.2

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{\frac{1}{4}}$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$