Calcul infinitésimal Exemples

$10 x y y' = 1 - y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ par $10 x y$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ par $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.1.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{10 x y}$

Étape 2.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Étape 2.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Étape 2.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y}{10 x}$

Étape 2.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x}$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Pour écrire $- \frac{y}{10 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{y}{10 x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y \cdot y}{10 x y}$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y}{10 x y}$

Étape 2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y \cdot y}{10 x y}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez $y \cdot y$ comme $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.2.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 x y}$

Étape 2.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} (\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $10 y$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $10 y$ à partir de $10 y x$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y (x)}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de $(1 + y) (1 - y)$ .

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 2.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $y$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2

Laissez $u = (1 + y) (1 - y)$ . Alors $d u = - 2 y d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.2.2.1

Laissez $u = (1 + y) (1 - y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Différenciez $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Étape 3.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = 1 + y$ et $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3

Différenciez.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + y)$ comme $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.2.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.2.2.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.2.2.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2.2.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Étape 3.2.2.1.3.11

Multipliez $1 - y$ par $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Étape 3.2.2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.2.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Étape 3.2.2.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- y + 0 - y$

Étape 3.2.2.1.4.2.3

Additionnez $- y$ et $0$ .

$- y - y$

Étape 3.2.2.1.4.2.4

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$- 2 y$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$10 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 3.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7.2.2.4

Divisez $- 5$ par $1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.9

Simplifiez

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + y) (1 - y)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Développez $(1 + y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 5 \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$- 5 \ln (| 1 + 0 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 5 \ln (| 1 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1

Simplifiez $- 5 \ln (| 1 - y^{2} |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.4

Ajoutez $\ln (| x |)$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Divisez $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})$ par $1$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 4.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 4.5.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Étape 4.5.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - \ln (| x |)$

Étape 4.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) + \ln (| x |) = - C$

Étape 4.7

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$

Étape 4.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |)} = e^{- C}$

Étape 4.9

Réécrivez $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = {| 1 - y^{2} |}^{5} | x |$

Étape 4.10

Résolvez $y$ .

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Étape 4.10.1

Réécrivez l’équation comme ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$

Étape 4.10.2

Divisez chaque terme dans ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ par $| x |$ et simplifiez.

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Étape 4.10.2.1

Divisez chaque terme dans ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ par $| x |$ .

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Étape 4.10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 4.10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Étape 4.10.2.2.1.2

Divisez ${| 1 - y^{2} |}^{5}$ par $1$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Étape 4.10.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| 1 - y^{2} | = \sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$

Étape 4.10.4

Simplifiez $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ .

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Étape 4.10.4.1

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$

Étape 4.10.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Étape 4.10.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.10.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{\sqrt[5]{| x |} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Étape 4.10.4.3.2

Élevez $\sqrt[5]{| x |}$ à la puissance $1$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Étape 4.10.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1 + 4}}$

Étape 4.10.4.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{5}}$

Étape 4.10.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{| x |}}^{5}$ comme $| x |$ .

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Étape 4.10.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{| x |}$ comme ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 4.10.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 4.10.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Étape 4.10.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.10.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Étape 4.10.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{1}}$

Étape 4.10.4.3.5.5

Simplifiez

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{| x |}$

Étape 4.10.4.4

Réécrivez ${\sqrt[5]{| x |}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{{| x |}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} \sqrt[5]{{| x |}^{4}}}{| x |}$

Étape 4.10.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$

Étape 4.10.4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Étape 4.10.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Étape 4.10.6

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Étape 4.10.7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$

Étape 4.10.8

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.10.8.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.10.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.10.8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.10.8.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.10.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.10.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.10.8.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.10.8.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ comme $- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.10.8.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1$

Étape 4.10.9

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} C}}{| x |}) + 1}$