Calcul infinitésimal Exemples

$4 (y d) x + 3 x d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $4 y d x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x d y = - 4 y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Étape 3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3}{y} d y = - 4 \frac{1}{x y} y d x$

Étape 3.5

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x y} y d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x} d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{4}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{4}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 4 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (| y |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = C$

Étape 5.2.1.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{4}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{4}) = C$

Étape 5.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| y |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{4} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{4} {| y |}^{3}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ par $x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ par $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez ${| y |}^{3}$ par $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $\frac{e^{C}}{x^{4}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}$ .

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Étape 5.5.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{4}}}$

Étape 5.5.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $x^{3}$ dans $x^{4}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}}$

Étape 5.5.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}$ .

$| y | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}}$

Étape 5.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$

Étape 5.5.4.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| y | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 5.5.4.4

Associez.

$| y | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Étape 5.5.4.5

Multipliez $\sqrt[3]{e^{C}}$ par $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Étape 5.5.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.5.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.5.4.7.2

Déplacez $\sqrt[3]{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Étape 5.5.4.7.3

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Étape 5.5.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 5.5.4.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 5.5.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.5.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.5.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.5.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Étape 5.5.4.7.6.5

Simplifiez

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Étape 5.5.4.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.9

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}}$