Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d T}{d t} + 0.069 T = 2.07$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 0.069$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 0.069 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{0.069 t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{0.069 t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{0.069 t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + e^{0.069 t} (0.069 T) = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

Étape 2.3

Déplacez $2.07$ à gauche de $e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 \cdot e^{0.069 t}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 T e^{0.069 t} = 2.07 e^{0.069 t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] = 2.07 e^{0.069 t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] d t = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{0.069 t} T = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $2.07$ est constant par rapport à $t$ , placez $2.07$ en dehors de l’intégrale.

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{0.069 t} d t$

Étape 6.2

Laissez $u = 0.069 t$ . Alors $d u = 0.069 d t$ , donc $\frac{1}{0.069} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 0.069 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $0.069 t$ .

$\frac{d}{d t} [0.069 t]$

Étape 6.2.1.2

Comme $0.069$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.069 t$ par rapport à $t$ est $0.069 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.069 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.069 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $0.069$ par $1$ .

$0.069$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{u} \frac{1}{0.069} d u$

Étape 6.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.069}$ .

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int \frac{e^{u}}{0.069} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{0.069}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.069}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{0.069 t} T = 2.07 (\frac{1}{0.069} \int e^{u} d u)$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{0.069}$ et $2.07$ .

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} \int e^{u} d u$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$

Étape 6.7

Réécrivez $\frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$ comme $30 e^{u} + C$ .

$e^{0.069 t} T = 30 e^{u} + C$

Étape 6.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $0.069 t$ .

$e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ par $e^{0.069 t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ par $e^{0.069 t}$ .

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{0.069 t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $T$ par $1$ .

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{0.069 t}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $30$ par $1$ .

$T = 30 + \frac{C}{e^{0.069 t}}$