Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

Étape 1.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Étape 1.2.3

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Étape 1.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Étape 1.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.2.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.2.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.2.4.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.2.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Étape 1.2.4.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$