Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} y^{2}$ à partir de $4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2} y^{2}$ à partir de $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{2} y^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$

Étape 1.2.3

Factorisez $x^{2} y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x - 3)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2} (4 x - 3))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Étape 1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Étape 1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x - 3)$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$

Étape 1.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$

Étape 1.4.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}$

Étape 1.4.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Étape 1.4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}$

Étape 1.4.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 \cdot x^{2}$

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.5.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$ .

$x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{4} y - x^{3} y + K y$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{4} y$ .

$y x^{4} - x^{3} y + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- x^{3} y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y x^{4} + y (- x^{3})$ .

$y (x^{4} - x^{3}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.5

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{4} - x^{3}) + y K$ .

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ par $x^{4} - x^{3} + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ par $x^{4} - x^{3} + K$ .

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4} - x^{3} + K$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x^{4} - x^{3} + K}$