Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Alors $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ , donc $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.3.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2.1.3.2

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Étape 2.3.2.1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.2.1.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Étape 2.3.2.1.3.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Étape 2.3.2.1.3.4.3

Associez $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Étape 2.3.2.1.3.4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Étape 2.3.2.1.3.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.3.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.1.3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.3.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Étape 2.3.2.1.3.4.4.2.4

Divisez $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ par $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Étape 2.3.2.1.3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$