Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{9}$ .

$v = y^{- 8}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{8}}$ par rapport à $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Multipliez $v^{\frac{1}{8}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.4.4.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ et $g (x) = v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.7

Associez $- 1$ et $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.9.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.11

Associez $\frac{1}{8}$ et $v^{- \frac{7}{8}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.12

Placez $v^{- \frac{7}{8}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.13

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.14

Associez $\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.15

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

Étape 5.16

Multipliez $\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ par $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

Étape 5.17

Multipliez $v^{\frac{7}{8}}$ par $v^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.17.1

Déplacez $v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

Étape 5.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

Étape 5.17.3

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

Étape 5.17.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.17.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

Étape 5.17.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

Étape 5.17.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

Étape 5.17.6

Additionnez $2$ et $7$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{8}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ .

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ par $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ par $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8 v^{\frac{9}{8}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Factorisez $8 v^{\frac{9}{8}}$ à partir de $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5

Multipliez $v^{- \frac{1}{8}}$ par $v^{\frac{9}{8}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5.5

Divisez $8$ par $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.6

Simplifiez $- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10

Associez $v$ et $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.2.1.11

Déplacez $8$ à gauche de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.3

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Multipliez $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.2.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.3.2.2

Associez $- 9$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.4

Multipliez $v^{- \frac{9}{8}}$ par $v^{\frac{9}{8}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.4.1

Déplacez $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

Étape 7.1.1.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

Étape 7.1.1.3.4.4

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

Étape 7.1.1.3.4.5

Divisez $0$ par $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

Étape 7.1.1.3.5

Simplifiez $- 8 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

Étape 7.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- \frac{8 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $- \frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{8}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

Étape 7.2.2

Intégrez $- \frac{8}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

Étape 7.2.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 7.2.2.5

Simplifiez

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 8 \ln (x)}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 8})}$

Étape 7.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 8}$

Étape 7.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}}$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{8}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{8}}$ et $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.2.3

Associez $\frac{8}{x}$ et $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.4.1

Multipliez $\frac{8 v}{x}$ par $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{x^{8}}$ et $- 8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

Étape 7.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

Étape 7.7.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

Étape 7.7.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.3.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

Étape 7.7.3.2

Retirez $x^{8}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

Étape 7.7.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{8})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

Étape 7.7.3.3.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

Étape 7.7.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

Étape 7.7.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.5.1.1

Associez $x^{- 7}$ et $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

Étape 7.7.5.1.2

Placez $x^{- 7}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

Étape 7.7.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

Étape 7.7.5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

Étape 7.7.5.3.2

Associez $8$ et $\frac{1}{7 x^{7}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Étape 7.8

Résolvez $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1.1

Soustrayez $\frac{8}{7 x^{7}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

Étape 7.8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Étape 7.8.1.3

Associez $\frac{1}{x^{8}}$ et $v$ .

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Étape 7.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $v$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.2.1

Ajoutez $\frac{8}{7 x^{7}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

Étape 7.8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Étape 7.8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{8}$ .

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Étape 7.8.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Étape 7.8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Étape 7.8.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

Étape 7.8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.4.2.1.2.1

Factorisez $x^{7}$ à partir de $7 x^{7}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

Étape 7.8.4.2.1.2.2

Factorisez $x^{7}$ à partir de $x^{8}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Étape 7.8.4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Étape 7.8.4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

Étape 7.8.4.2.1.3

Associez $\frac{8}{7}$ et $x$ .

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

Étape 7.8.4.2.1.4

Remettez dans l’ordre $\frac{8 x}{7}$ et $C x^{8}$ .

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{- 8}$ .

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$