Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - 6 y = x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - 6 y = x$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = 1$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{x} = 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{x} y = 1$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 6}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 6}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 6}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{6}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{6}{x} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (6 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 6 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 6 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 6 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 6})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 6}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{6}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{6}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{6}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{6}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (- \frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} (\frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{6}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{6 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x \cdot x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{6}$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1} x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1 + 6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{x^{6}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] = \frac{1}{x^{6}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] d x = \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1.1

Retirez $x^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Étape 7.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{- 6} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5} x^{- 5} + C$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{5} x^{- 5} + C$ comme $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}} + C$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{5}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{x^{5} \cdot 5} + C$

Étape 7.3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Ajoutez $\frac{1}{5 x^{5}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{5 x^{5}} = C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{5 x^{5}} - C = 0$

Étape 8.1.3

Associez $\frac{1}{x^{6}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{6}} + \frac{1}{5 x^{5}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $\frac{1}{5 x^{5}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{6}} - C = - \frac{1}{5 x^{5}}$

Étape 8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{6}} = - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{6}$ .

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{5 x^{5}} x^{6} + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5 x^{5}}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- 1}{5 x^{5}} x^{6} + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Factorisez $x^{5}$ à partir de $5 x^{5}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} x^{6} + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{6}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} (x^{5} x) + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} (x^{5} x) + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1}{5} x + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.3

Associez $\frac{- 1}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{- x}{5} + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.2.1.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{5} + C x^{6}$

Étape 8.4.2.1.4.2

Remettez dans l’ordre $- \frac{x}{5}$ et $C x^{6}$ .

$y = C x^{6} - \frac{x}{5}$