Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sin (x)$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sin (x) d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int \sin (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x y = - \cos (x) + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x y = - \cos (x) + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x y = - \cos (x) + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$