Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 9 x y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (9 x y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = 9 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2.2

Associez $9$ et $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = 9 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 9 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 9 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 9 x d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 9 x d x$

Étape 2.2.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 9 x d x$

Étape 2.2.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 9 x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $9 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $9$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{9}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{9}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9 x^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Développez $(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Étape 3.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1

Associez.

$y = \frac{9 x^{2} (9 x^{2})}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{9 (x^{2} x^{2}) \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{9 x^{2 + 2} \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{9 x^{4} \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.5

Associez.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.7

Associez.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K (9 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K \cdot 9 x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.9

Déplacez $9$ à gauche de $K$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 \cdot K x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.10.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.3.1.10.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Additionnez $\frac{9 x^{2} K}{8}$ et $\frac{9 K x^{2}}{8}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Additionnez $\frac{9 K x^{2}}{8}$ et $\frac{9 K x^{2}}{8}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + K$