Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.2

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ .

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Étape 4.2.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Étape 4.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Étape 4.2.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{4}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Étape 4.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $4$ de $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{1}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{1}{3}$ dans $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.3

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $27$ par $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $2$ par $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.7

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.9

Multipliez $9$ par $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.11

Multipliez $4$ par $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.12

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $8$ par $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.15

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $81 x^{4}$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.2

Associez $27$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.3

Associez $\frac{27}{4}$ et $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $12$ à partir de $216 x^{3}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.5

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.2.4.5.1

Factorisez $12$ à partir de $216 x^{2}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.6

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.2.4.6.1

Factorisez $12$ à partir de $96 x$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.4.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.7.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.7.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.7.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.4.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Étape 5.5

Divisez $3$ par $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$