Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d v}{d x} = 1 - 2 v$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - 2 v}$ .

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{1 - 2 v} (1 - 2 v)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 - 2 v$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{1 - 2 v} (1 - 2 v)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 - 2 v} d v = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 - 2 v} d v = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 - 2 v$ . Alors $d u = - 2 d v$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 - 2 v$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 - 2 v$ .

$\frac{d}{d v} [1 - 2 v]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 v$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- 2 v]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 2 v$ par rapport à $v$ est $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d v} [v]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 v$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) = x + C$

Étape 3

Résolvez $v$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |)) = - 2 (x + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 1 - 2 v |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 v |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 - 2 v |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 1 - 2 v |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 x - 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - 2 v |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 x - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | 1 - 2 v |$

Étape 3.5

Résolvez $v$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - 2 v | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| 1 - 2 v | = e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.5.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} + 1}{2}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} + 1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- 2 x + C}$ comme $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} + 1}{2}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 x}$ et $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} + 1}{2}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = \frac{C e^{- 2 x} + 1}{2}$