Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{x^{2}} d x + (y^{5} - 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x e^{x^{2}} d x$ des deux côtés de l’équation.

$(y^{5} - 1) d y = - x e^{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{5} - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{5} d y + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{5}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} - y + C_{2} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int x e^{x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 2.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 2.3.2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$ comme $- \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$

Étape 2.3.4.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$