Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 \cos (6 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 3 \cos (6 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 \cos (6 x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 \cos (6 x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 \int \cos (6 x) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 3 \int \cos (u) \frac{1}{6} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\cos (u)}{6} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{6} \int \cos (u) d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{6} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 (1)}{6} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (6 x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (6 x) + K$