Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ .

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $0.04 y + 8000$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 0.04 y + 8000$ . Alors $d u = 0.04 d y$ , donc $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 0.04 y + 8000$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{0.04}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $0.04$ par $1$ .

$0.04$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.2

Comme $25$ est constant par rapport à $u$ , placez $25$ en dehors de l’intégrale.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $0.04 y + 8000$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ par $25$ .

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ par $1$ .

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ .

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $8000$ des deux côtés de l’équation.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ par $0.04$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ par $0.04$ .

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $0.04$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Factorisez $0.04$ à partir de $0.04$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.3.1.4

Séparez les fractions.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.3.1.5

Divisez $1$ par $0.04$ .

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.3.1.6

Divisez $\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ par $1$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

Étape 3.4.4.3.1.7

Divisez $- 8000$ par $0.04$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$