Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Étape 1.3.1.1.2

Divisez $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $\tan (\frac{y}{x})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

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Étape 1.3.1.3.1

Associez $\sin (\frac{y}{x})$ et $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.3.2

Élevez $\sin (\frac{y}{x})$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.3.3

Élevez $\sin (\frac{y}{x})$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $\sin (\frac{y}{x})$ à partir de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ à $\tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

Étape 1.3.2.4

Divisez $\sin (\frac{y}{x})$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.1.1

Simplifiez $V + \sin (V) \tan (V)$ .

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Étape 6.1.1.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1.1.1

Réécrivez $\tan (V)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.1.2

Multipliez $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

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Étape 6.1.1.1.1.1.2.1

Associez $\sin (V)$ et $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.1.2.2

Élevez $\sin (V)$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.1.2.3

Élevez $\sin (V)$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1.2.1

Factorisez $\sin (V)$ à partir de $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.2.2

Séparez les fractions.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.1.1.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ à $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Étape 6.1.1.1.1.2.4

Divisez $\sin (V)$ par $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $\sin (V) \tan (V)$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Étape 6.1.1.2.3

Réécrivez $\tan (V)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.4

Multipliez $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

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Étape 6.1.1.2.4.1

Associez $\sin (V)$ et $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.4.2

Élevez $\sin (V)$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.4.3

Élevez $\sin (V)$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.5

Factorisez $\sin (V)$ à partir de $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.6

Séparez les fractions.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Étape 6.1.1.2.7

Convertissez de $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ à $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Étape 6.1.1.2.8

Divisez $\sin (V)$ par $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $\sin (V) \tan (V)$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1.1

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (V)}$ à $\csc (V)$ .

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3

Réécrivez $\tan (V)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.5

Convertissez de $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ à $\cot (V)$ .

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Comme la dérivée de $- \csc (V)$ est $\cot (V) \csc (V)$ , l’intégrale de $\cot (V) \csc (V)$ est $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.2.2

Divisez $\csc (V)$ par $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Étape 6.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

Étape 6.3.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $V$ de l’intérieur de la cosécante.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$