Calcul infinitésimal Exemples

$2 y - (2 x - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + (- (2 x) - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 y + (- 2 x - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.1.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 y + (- 2 x + 1 y) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 y + (- 2 x + y) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 y - 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = - 2 y$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $- 2 x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + y (\frac{d y}{d x}) = - 2 y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $y \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y = - 2 y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ par $- 2 x + y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ par $- 2 x + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2 x + y$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 2 x + y}$

Étape 1.1.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) + y}$

Étape 1.1.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) - 1 (- y)}$

Étape 1.1.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x - y)}$

Étape 1.1.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.5.1

Réécrivez $- (2 x - y)$ comme $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 1 (2 x - y)}$

Étape 1.1.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{2 y}{2 x - y}$

Étape 1.1.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{2 y}{2 x - y}$

Étape 1.1.4.3.5.4

Multipliez $\frac{2 y}{2 x - y}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{2 y}{2 x - y}$ par $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{2 y}{2 x - y}$ par $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{(2 x - y) \frac{1}{x^{1}}}$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x^{1}} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Étape 1.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Étape 1.6

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.7

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.8

Multipliez $2 y \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.8.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.8.2

Associez $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.9

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.10.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.10.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.10.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - y \frac{1}{x}}$

Étape 1.10.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Étape 1.11

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{2 y}{x}$ .

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Étape 1.11.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2}{2 - \frac{y}{x}}$

Étape 1.11.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Multipliez $2$ par $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 V}{2 - V}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V \cdot \frac{2 - V}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} + \frac{- V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.4.1

Factorisez $V$ à partir de $2 V - V (2 - V)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.4.1.1

Factorisez $V$ à partir de $2 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.2

Factorisez $V$ à partir de $- V (2 - V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 + V (- (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.3

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 2 + V (- (2 - V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 1 \cdot 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Multipliez $- - V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + 1 V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4.2

Multipliez $V$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 + V)}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.6

Additionnez $0$ et $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.5.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5.2

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{1}}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 1}}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{2 - V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.7

Multipliez $\frac{V^{2}}{2 - V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Étape 6.1.1.3.3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{V^{2}}{(2 - V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x (2 - V)}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 - V}{V^{2}}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{V^{2}}{2 - V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 - V$ .

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2 - V$ à partir de $(2 - V) x$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) (x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $V^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 - V}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 - V}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Retirez $V^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 - V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 - V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (2 - V) V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $(2 - V) V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - V \cdot V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $V$ par $V^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.3.1

Déplacez $V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $V^{- 2}$ par $V$ .

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Étape 6.2.2.3.2.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V^{1}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 2 + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- 2}$ par rapport à $V$ est $- V^{- 1}$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - \int V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

L’intégrale de $V^{- 1}$ par rapport à $V$ est $\ln (| V |)$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - (\ln (| V |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9

Simplifiez

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Étape 6.2.2.9.1

Simplifiez

$2 (- \frac{1}{V}) - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{1}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{V}$ .

$\frac{- 2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2}{\frac{y}{x}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 (\frac{x}{y}) + C$

Étape 8.2.2

Associez $2$ et $\frac{x}{y}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2 x}{y} + C$

Étape 8.3

Divisez chaque terme dans $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.2.2

Divisez $\ln (| \frac{y}{x} |)$ par $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{2 x}{y}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{2 x}{y}$ comme $- \frac{2 x}{y}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 8.3.3.1.5

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Étape 8.3.3.1.6

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - \ln (| x |)$

Étape 8.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Étape 8.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Étape 8.6

Multipliez $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Étape 8.6.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Étape 8.6.2

Associez $\frac{y}{x}$ et $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.7.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Étape 8.7.2

Divisez $y$ par $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2 x}{y} - C$