Calcul infinitésimal Exemples

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 + 3 y + 3 y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 + 3 y + 3 y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 3 y + 3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 (2 y)$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 6 y$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 6 y$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 3$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x + 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 y + 3$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y + 1$ .

$6 y + 3 = 2 y + 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$6 y + 3 = 2 y + 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 y + 3$ .

$\frac{6 y + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y + 1$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x + 2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x + 2 x y$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 y + 3 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $6 y$ .

$\frac{4 y + 3 - 1}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{4 y + 2}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2.6

Factorisez $2$ à partir de $4 y + 2$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\frac{2 (2 y) + 2}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 y) + 2 (1)}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x + 2 x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x^{1} + 2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + 2 x y}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + x (2 y)}$

Étape 4.3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (1 + 2 y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $2 y + 1$ et $1 + 2 y$ .

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Étape 4.3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Étape 4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $3 + 3 y + 3 y^{2}$ par $x^{2}$ .

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) x^{2} d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x + 2 x y$ par $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) x^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x \cdot x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1} x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Étape 6.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1 + 2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Étape 6.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x) y) d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) y) d y = 0$

Étape 6.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2 + 1} y) d y = 0$

Étape 6.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{3} y d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{3} y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Étape 8.3

Comme $2 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.5

Simplifiez

$f (x, y) = x^{3} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Étape 8.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = x^{3} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Étape 8.6.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{3} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{3} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y$

Étape 12.1.2

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 12.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 y x^{2}$ et $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 12.1.3.2

Soustrayez $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 12.1.3.3

Additionnez $3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 12.1.3.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 y^{2} x^{2}$ et $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 12.1.3.5

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Étape 12.1.3.6

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $3 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Étape 13.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Étape 13.5.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + x^{3} + C$