Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Étape 1

Laissez $V = \frac{y}{t}$ . Remplacez $\frac{y}{t}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Étape 2

Résolvez $V = \frac{y}{t}$ pour $y$ .

$y = V t$

Étape 3

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V t$ par rapport à $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Étape 4

Remplacez $\frac{d y}{d t}$ par $t \frac{d V}{d t} + V$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Étape 5

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 5.1

Séparez les variables.

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Étape 5.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d t}$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d t}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Étape 5.1.1.1.2

Soustrayez $V$ de $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Étape 5.1.1.2

Divisez chaque terme dans $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ par $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Étape 5.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Étape 5.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Étape 5.1.2

Factorisez.

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Étape 5.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 V + 2$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Étape 5.1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Étape 5.1.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Étape 5.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Étape 5.1.4

Annulez le facteur commun de $- V + 1$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $- V + 1$ à partir de $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Étape 5.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Étape 5.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Étape 5.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Laissez $u = - V + 1$ . Alors $d u = - d V$ , donc $- d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Laissez $u = - V + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Étape 5.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 5.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Étape 5.3

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| t |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Étape 5.3.2.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| t |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Étape 5.3.3

Ajoutez $\ln (t^{2})$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Étape 5.3.4.2.2

Divisez $\ln (| - V + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Étape 5.3.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Étape 5.3.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Étape 5.3.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ comme $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Étape 5.3.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Étape 5.3.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Étape 5.3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Étape 5.3.8

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Étape 5.3.9

Réécrivez $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Étape 5.3.10

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.10.1

Réécrivez l’équation comme $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Étape 5.3.10.2

Divisez chaque terme dans $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ par $t^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.10.2.1

Divisez chaque terme dans $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ par $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

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Étape 5.3.10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.10.2.2.1.2

Divisez $| - V + 1 |$ par $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.10.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.10.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Étape 5.3.10.5

Divisez chaque terme dans $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.10.5.1

Divisez chaque terme dans $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.10.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.10.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.10.5.2.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.10.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.10.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.10.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.10.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ comme $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.10.5.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Étape 5.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Étape 5.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Étape 6

Remplacez $V$ par $\frac{y}{t}$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Étape 7

Résolvez $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ pour $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés par $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{t^{2}}$ et $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Étape 7.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Étape 7.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 7.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{C}{t^{2}}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Étape 7.2.2.1.3.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Étape 7.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Étape 7.2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Étape 7.2.2.1.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.4.1

Multipliez $t$ par $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Étape 7.2.2.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Étape 7.2.2.1.4.3

Remettez dans l’ordre $- \frac{C}{t}$ et $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$