Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} y d x = (3 x^{3} + y^{3}) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(3 x^{3} + y^{3}) d y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Étape 2.2

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2} y$ par rapport à $y$ est $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (3 x^{3} + y^{3})$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x^{3} + y^{3})]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (3 x^{3} + y^{3})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Étape 3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Étape 3.7

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + 0)$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2})$

Étape 3.8.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 9 x^{2}$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 9 x^{2}$ .

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $2 x^{2} y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $2 x^{2} y$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 1 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.3

Soustrayez $2$ de $- 9$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 11}{2 y}$

Étape 5.3.4

Remplacez $M$ par $2 x^{2} y$ .

$- \frac{11}{2 y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

Étape 6.2

Comme $\frac{11}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{11}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ .

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Étape 6.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| y |)$ et $\frac{11}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

Étape 6.5.1.2

Simplifiez $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ en déplaçant $\frac{11}{2}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

Étape 6.5.2

Simplifiez $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

Étape 6.5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

Étape 6.5.4

Multipliez les exposants dans ${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

Étape 6.5.4.2

Multipliez $\frac{11}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.5.4.2.1

Associez $\frac{11}{2}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

Étape 6.5.4.2.2

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

Étape 6.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

Étape 6.5.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2 x^{2} y$ par $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Étape 7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$x^{2} y \frac{2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$y \frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.2.3

Associez $y$ et $\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 2)}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.3

Placez $y^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $y^{\frac{11}{2}}$ par $y^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.4.5.2

Soustrayez $2$ de $11$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.6

Multipliez $- (3 x^{3} + y^{3})$ par $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- (3 x^{3}) - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- 3 x^{3} - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.9

Multipliez $- 3 x^{3} - y^{3}$ par $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 3 x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - (y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{3}) - (y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.13

Réécrivez $- (3 x^{3} + y^{3})$ comme $- 1 (3 x^{3} + y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 1 (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 7.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{2} d x$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 3} x^{3} + C$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $3$ par $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Étape 9.3.2.4

Associez $\frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $\frac{2 x^{3}}{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ comme ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.5.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.9.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.10

Associez $\frac{9}{2}$ et $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.11

Associez $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ et $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12

Multipliez $y^{\frac{7}{2}}$ par $y^{- 9}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.12.1

Déplacez $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12.3

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12.4

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.12.6.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12.6.2

Additionnez $- 18$ et $7$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.13

Placez $y^{- \frac{11}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.14

Multipliez $\frac{2 x^{3}}{3}$ par $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{3} \cdot 9}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.15

Multipliez $9$ par $2$ .

$- \frac{18 x^{3}}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.16

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{18 x^{3}}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.17

Factorisez $6$ à partir de $18 x^{3}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.18.1

Factorisez $6$ à partir de $6 y^{\frac{11}{2}}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.18.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.3.18.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Étape 13.1.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{3} + 3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.1.2

Additionnez $- 3 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.1.3

Additionnez $0$ et $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.2.1

Placez $y^{3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 3}} = 0$

Étape 13.1.1.2.2

Multipliez $y^{\frac{11}{2}}$ par $y^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3}} = 0$

Étape 13.1.1.2.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1.2.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 6}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2.2.5.2

Soustrayez $6$ de $11$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = 0$

Étape 13.1.2

Soustrayez $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Étape 14.4

Retirez $y^{\frac{5}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (y) = - \int {(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d y$

Étape 14.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 14.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d y$

Étape 14.5.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 14.5.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d y$

Étape 14.5.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{- 5}{2}} d y$

Étape 14.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = - \int y^{- \frac{5}{2}} d y$

Étape 14.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{5}{2}}$ par rapport à $y$ est $- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}} + C)$

Étape 14.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.7.1

Simplifiez

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Étape 14.7.1.1

Associez $y^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$g (y) = - (- \frac{y^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

Étape 14.7.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 \cdot y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Étape 14.7.1.3

Multipliez $2$ par $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Étape 14.7.1.4

Placez $y^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C)$

Étape 14.7.2

Simplifiez

$g (y) = - - \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 14.7.3

Simplifiez

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Étape 14.7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = 1 \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 14.7.3.2

Multipliez $\frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$g (y) = \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$