Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\sin (y) + y \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez $2 \log (e^{x})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Étape 1.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Étape 1.2.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.2.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Simplifiez

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $- \cos (y)$ et $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $y \sin (y)$ et $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Réécrivez $x \log (e^{2 x}) + 1$ comme $x (2 x \log (e)) + 1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

Étape 2.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

Étape 2.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

Étape 2.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

Étape 2.3.4

Comme $2 \log (e)$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 \log (e)$ en dehors de l’intégrale.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Étape 2.3.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Étape 2.3.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$