Calcul infinitésimal Exemples

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Multipliez $1$ par $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y + 2 x$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2$ .

$0 = 2$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = 2$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $1$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $1$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Étape 5.3.2

Divisez $2 + 0$ par $1$ .

$2 + 0$

Étape 5.3.3

Remplacez $M$ par $1$ .

$2$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 d y}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Étape 6.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $d x + (y + 2 x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{2 y}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $1$ par $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $y + 2 x$ par $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = e^{2 y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 y} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{2 y} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 2 y$ .

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Étape 12.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 12.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $2 x e^{2 y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

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Étape 13.1.2.1

Soustrayez $2 x e^{2 y}$ de $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Étape 13.1.2.2

Additionnez $y e^{2 y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $y e^{2 y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Étape 14.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Étape 14.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Étape 14.4.2

Associez $y$ et $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Étape 14.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Étape 14.6

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Étape 14.7

Laissez $u = 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 14.7.1

Laissez $u = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 14.7.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 14.7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 14.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 14.7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 14.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 14.8

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 14.9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 14.10

Simplifiez

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Étape 14.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 14.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 14.11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 14.12

Réécrivez $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ comme $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 14.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Étape 16

Simplifiez $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Étape 16.1.2

Associez $\frac{y}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Étape 16.1.3

Associez $e^{2 y}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Étape 16.2

Soustrayez $\frac{e^{2 y}}{4}$ de $e^{2 y} x$ .

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Étape 16.2.1

Remettez dans l’ordre $e^{2 y}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Étape 16.2.2

Pour écrire $x e^{2 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Étape 16.2.3

Associez $x e^{2 y}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Étape 16.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Étape 16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Étape 16.3.2

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

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Étape 16.3.2.1

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Étape 16.3.2.2

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Étape 16.3.2.3

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Étape 16.4

Pour écrire $\frac{y e^{2 y}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Étape 16.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.5.1

Multipliez $\frac{y e^{2 y}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Étape 16.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Étape 16.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Étape 16.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.7.1

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

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Étape 16.7.1.1

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Étape 16.7.1.2

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Étape 16.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$